Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Не следует оценивать каждое слагаемое сферической функции,
ведь мы работаем со всей их совокупностью — она конечна. Обра-
тимся к оценке Y
n
(
e
Q). Поскольку Y
n
(
e
Q) не зависит от направлений
координатных осей, проведем ось z через точку
e
Q. Формула (5.10)
примет вид
Y
n
(
e
Q) =
1
MR
n
Z
T
r
n+2
sin θP
n
(cos θ)%(Q) drdθdλ, (6.29)
или, что то же,
Y
n
(
e
Q) =
1
MR
n
Z
T
r
n
P
n
(cos θ) dm. (6.30)
Справа мы опустили штрихи у всех переменных, теперь это не при-
ведет к путанице. Заменяя в выражении (6.30) r на R, P
n
на 1
(см.(5.58)), получим простейшую оценку
|Y
n
(
e
Q)| 6 1, (6.31)
пригодную для любых тел.
Для получения более точных оценок надо наложить некоторые
условия на плотность.
1. Пусть плотность % ограничена:
% 6 %
0
. (6.32)
Заменим справа в формуле (6.29) P
n
на |P
n
|, % на %
0
и распростра-
ним интегрирование на шар T
R
радиусом R :
|Y
n
(
e
Q)| 6
%
0
MR
n
Z
T
R
r
n+2
sin θ|P
n
(cos θ)|drdθdλ.
Переменные расщепились, и тройной интеграл распался на три:
R
Z
0
r
n+2
dr =
R
n+3
n + 3
,
2π
Z
0
dλ = 2π,
π
Z
0
sin θ|P
n
(cos θ)|dθ =
1
Z
−1
|P
n
(x)|dx <
2
√
2n + 1
,
где в конце использована задача 5.23.
83

Страницы