Составители:
Рубрика:
при некотором p < 1. Классический пример функции e
−1/x
2
, имею-
щей всюду сходящийся ряд Маклорена из одних нулей, показывает,
что ряд может сходиться “не туда”, к совсем другой функции. Куда
же сходится наш ряд между сферами (6.38), (6.39)? Ответ зависит
от взаимного расположения тела T и точки Q, в которой определя-
ется потенциал.
1. Точка под объемлющей сферой внутри тела.
Внутренний потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
(3.4), тогда как внешний — уравнению Лапласа (3.3). Поэтому ряд
(5.9) сходится не к потенциалу, а к его аналитическому продолже-
нию извне внутрь. Это две разные функции (рис. 6).
2. Точка под объемлющей сферой вне тела.
Если в точку Q под объемлющей сферой вне T можно проник-
нуть извне вдоль пути, лежащего в некоторой пустой области, то
по принципу аналитического продолжения ряд (5.9) представляет
там именно потенциал V . Напомним, что функция V аналитична
во всем внешнем пространстве.
Таким образом, для тел, топологически эквивалентных шарам,
полноториям, внутренностям сфер с несколькими ручками, сходи-
мость ряда Лапласа (5.9) в любой точке вне T влечет его сходимость
именно к V (см. рис. 6).
сходимость к V
сходимость не к Vрасходимость
Рис. 6. Поведение ряда (5.9) тела аналитической структуры. Тело T
(заштриховано) и две сферы r = R, r = pR, 0 < p < 1.
86
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
