Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Заменим в выражениях (6.42) n на n − 1 и продифференцируем
функцию U
nk
по x, воспользовавшись вычисленной в задаче 3.19
матрицей Якоби ∂(r, θ, λ)/∂(x, y, z). Получим
sin θr
n+1
∂U
n−1,k
∂x
= E
1
P
k
n−1
(cos θ) + E
2
P
k+1
n−1
(cos θ), (6.43)
где
E
1
=
k cos
2
θ − n sin
2
θ
cos λ cos kλ + k sin λ sin kλ ,
E
2
= −cos θ sin θ cos λ cos kλ .
После элементарных преобразований представим правую часть ра-
венства (6.43) в виде
E
3
cos(k − 1)λ + E
4
cos(k + 1)λ ,
где
2E
3
=
k cos
2
θ − n sin
2
θ + k
P
k
n−1
−cos θ sin θP
k+1
n−1
,
2E
4
=
k cos
2
θ − n sin
2
θ − k
P
k
n−1
−cos θ sin θP
k+1
n−1
.
При k = 0 согласно соотношению (5.43)
2E
3
= 2E
4
= −sin θP
1
n
.
При k > 1 в формуле для E
3
подставим вместо P
k+1
n
правую
часть равенства (5.45)
2E
3
= sin θ(n − k)
−sin θP
k
n−1
+ (n + k − 1) cos θP
k−1
n−1
,
что согласно рекуррентности (5.44) равно
(n − k)(n − k + 1) sin θP
k−1
n
.
Аналогично
2E
4
= −sin θP
k+1
n
.
Мы получили первую из формул
88

Страницы