Составители:
Рубрика:
Невозможно проникнуть указанным путем только в полость,
если таковая имеется в теле (рис. 6). Внешний потенциал в со-
держащей далекие точки внешней области и полости описывается
разными аналитическими функциями, не продолжающимися одна
в другую. Хорошая иллюстрация этого дается задачей 2.14.
6.6 Градиент шаровой функции
Теорема 5
Градиент шаровой функции второго рода порядка n является ша-
ровой функцией второго рода порядка n + 1.
В силу перестановочности операторов Лапласа и дифференци-
рования по декартовым координатам (задача 3.7) градиент ша-
ровой функции гармоничен. Представим произвольную шаровую
функцию второго рода порядка n в виде
V (x, y, z) =
f(x, y, z)
r
2n+1
,
где f — однородный многочлен степени n. Вычислим производную
∂V
∂x
=
g(x, y, z)
r
2n+3
, (6.40)
где
g(x, y, z) = r
2
∂f
∂x
−(2n + 1)xf(x, y, z). (6.41)
Очевидно, что g — однородный многочлен степени n +1. Представ-
ление гармонической функции ∂V /∂x в виде (6.40), (6.41) доказы-
вает теорему.
Для получения явного выражения достаточно найти градиент
базовых шаровых функций
U
nk
=
1
r
n+1
P
k
n
(cos θ) cos kλ , W
nk
=
1
r
n+1
P
k
n
(cos θ) sin kλ . (6.42)
Производные по r, λ элементарны. Дифференцируя тождество
(5.40), находим производную по θ:
d
dθ
P
k
n
(cos θ) = k ctg θP
k
n
(cos θ) −P
k+1
n
(cos θ).
87
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
