Составители:
принимают за гравитационную потенциальную энергию (со знаком
минус) единицы массы Q в поле притягивающего центра Q
0
. Он же
определяет вторую космическую скорость v
2
(r), которую надо сооб-
щить точке Q для удаления ее с расстояния r от Q
0
до бесконечного
расстояния. По закону сохранения энергии
v
2
2
2
−
m
0
r
= 0,
откуда
v
2
=
r
2m
0
r
. (1.6)
Установим основные свойства потенциала (1.5).
1. Потенциал V (r) представляет собой функцию, вещественно-
аналитическую в R
3
\ {Q
0
}, т.е. во всем пространстве R
3
за
исключением притягивающего центра Q
0
.
2. Потенциал сингулярен в притягивающем центре Q
0
:
lim V (r) = ∞ при r → 0.
Физически это означает, что отрыв от притягивающей точки
требует бесконечной работы, что обеспечивает существование
(теоретическое!) «черных дыр» ньютоновской гравитации.
3. В бесконечно удаленной точке потенциал обращается в нуль,
точнее
lim V (r) = 0 при r → ∞.
4. В пространстве R
3
\{Q
0
} потенциал удовлетворяет уравнению
Лапласа
∆V = 0, (1.7)
где ∆ — оператор Лапласа
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
. (1.8)
Для доказательства вычислим последовательно
∂r
∂x
=
x
r
,
∂(r
−1
)
∂x
= −
x
r
3
,
∂
2
(r
−1
)
∂x
2
=
3x
2
− r
2
r
5
.
11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
