Составители:
Складывая последнее соотношение с аналогичными формула-
ми при дифференцировании по y и z, убедимся в справедливо-
сти уравнения (1.7) для функции (1.5) в случае m
0
= 1. Спра-
ведливость (1.7) при произвольном m
0
следует из линейности
оператора Лапласа. Справедливость (1.7) для функции (1.4)
следует из инвариантности оператора Лапласа относитель-
но сдвигов и вращений (Тиман, Трофимов, 1968). Впрочем,
это нетрудно доказать и непосредственным дифференцирова-
нием.
Напомним, что удовлетворяющие уравнению Лапласа функ-
ции называются гармоническими. Тем самым потенциал гар-
моничен во всем пространстве, за исключением точки Q
0
.
5. В теоретической физике важную роль играет понятие пото-
ка W векторного поля u через заданную поверхность S. Поток
определяется поверхностным интегралом
W =
ZZ
S
u
n
dσ. (1.9)
Здесь u
n
— составляющая вектора u, ортогональная поверх-
ности S; dσ — элемент площади. Предполагается, что S —
кусочно-гладкая поверхность, а векторное поле u — кусочно-
непрерывно.
Обратимся к векторному полю, образованному градиентом
потенциала w. Соответствующий поток W через замкну-
тую поверхность S определяется формулой Остроградского–
Гаусса
W =
(
−4πm
0
, если Q
0
находится внутри S,
0, если Q
0
находится вне S.
(1.10)
Докажем формулу (1.10) сначала для простейшего случая, ко-
гда S является сферой S(a), где a — ее радиус.
Если центр сферы совпадает с Q
0
, то доказательство совсем
просто. По определению
W =
ZZ
S(a)
w
n
dσ, (1.11)
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
