Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

то можно применить формулу Остроградского–Гаусса (Фих-
тенгольц, 1997б, п. 654)
ZZ
S
(grad V )
n
dσ =
ZZZ
D
∆V dτ. (1.13)
Здесь D — область, ограниченная поверхностью S, dτ — эле-
мент объема. Поскольку в D потенциал удовлетворяет урав-
нению Лапласа, тройной интеграл в (1.13) обращается в нуль.
Пусть S содержит точку Q
0
внутри себя. Окружим Q
0
сфе-
рой S(a) столь малого радиуса, чтобы S(a) лежала внутри S.
Применим формулу (1.13) к области, заключенной между S
и S(a). Справа получим нуль. Поскольку границей области D
служит объединение S и S(a), причем нормаль к S(a) направ-
лена вне D, т.е. внутрь сферы, приходим к равенству
ZZ
S
(grad V )
n
dσ =
ZZ
S(a)
(grad V )
n
dσ,
где теперь нормали к обеим поверхностям S и S(a) счита-
ются направленными наружу. Осталось только заметить, что
(grad V )
n
= w
n
.
Задачи к главе 1
Задача 1.1. Доказать инвариантность оператора Лапласа относи-
тельно сдвигов.
Указание. Обозначим старые декартовы координаты через x
1
,
x
2
, x
3
, а новые через x
0
1
, x
0
2
, x
0
3
. В данной задаче x
i
= a
i
+ x
0
i
при
постоянных a
i
. Требуется доказать, что
∆
def
=
3
X
i=1
∂
2
∂x
2
i
=
3
X
i=1
∂
2
∂x
0
i
2
.
Задача 1.2. Совершим линейное преобразование координат
x
i
=
3
X
j=1
a
ij
x
0
j
,
14

Страницы