Составители:
где w
n
— компонента вектора w, нормальная к поверхности
сферы. Согласно (1.1) компонента w
n
= −m
0
/a
2
постоянна,
площадь сферы равна 4πa
2
, откуда и следует (1.10).
В случае произвольного положения точки Q
0
введем систе-
му отсчета с началом в центре сферы и осью z, проходящей
через Q
0
. Точка Q
0
получает координаты (0, 0, b). Можно счи-
тать, что b > 0. Вектор r, пробегающий поверхность сферы,
вектор нормали n к поверхности сферы, а также векторы s
и w имеют в этой системе координаты
r = (x, y, z), n =
1
a
(x, y, z), s = (x, y, z − b), w = −
m
0
s
s
3
.
Отсюда
w
n
= −
m
0
s
3
sn = −
m
0
(a
2
− bz)
a(a
2
− 2bz + b
2
)
3/2
.
Интегрировать по сфере удобнее в сферических координатах
x = a sin θ cos ϕ, y = a sin θ sin ϕ, z = a cos θ,
dσ = a
2
sin θ dθ dϕ.
Формула (1.11) принимает вид
W = −m
0
Z
π
0
(1 −c cos θ) sin θ dθ
(1 − 2c cos θ + c
2
)
3/2
Z
2π
0
dϕ, (1.12)
где c = b/a. Внутренний интеграл равен 2π, а во внешнем
делаем подстановку t = 1 − 2c cos θ + c
2
:
W = −
πm
0
2c
Z
(1+c)
2
(1−c)
2
t + 1 − c
2
dt
t
3/2
=
= −
πm
0
c
[(1 + c) − |1 − c|] −
1 −c
2
1
1 + c
−
1
|1 −c|
.
Если притягивающая точка Q
0
находится внутри сферы S(a),
то 0 < c < 1, а если вне сферы, то c > 1. Раскрывая модули,
придем к формуле (1.10).
Перейдем к общему случаю произвольной замкнутой кусочно-
гладкой поверхности S. Если S не содержит Q
0
внутри себя,
13
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
