Составители:
Тело T будем считать компактным (за исключением главы 6).
Однако его размерность n = dim T может принимать любые значе-
ния от 1 до 3.
Если точка Q лежит внутри T , то интегралы (2.2) и (2.3) —
несобственные, и многие их свойства существенно зависят от раз-
мерности n тела T . Напротив, при Q /∈ T собственные интегра-
лы (2.2) и (2.3) обладают рядом общих свойств.
Несколько слов о терминологии. Потенциал при Q /∈ T принято
называть внешним, а при Q ∈ T — внутренним. Обратим внимание,
что речь идет об одном и том же потенциале в разных областях его
определения.
Установим важнейшие свойства потенциала протяженного тела.
1. Внешний потенциал V является вещественно-аналитической
функцией точки Q во всем пространстве R
3
\ T .
Действительно, подынтегральные функции s, (x − x
0
)s
−3
,
(y − y
0
)s
−3
, (z − z
0
)s
−3
аналитически зависят от x, y, z. Они
имеют особенность лишь при Q = Q
0
, что невозможно при
положении Q вне T.
2. Внешний потенциал V обладает частными производными всех
порядков, причем допустимо дифференцирование под знаком
интеграла (2.2).
Это свойство является непосредственным следствием преды-
дущего. Из него вытекает
w(Q) = grad V (Q), (2.4)
что оправдывает определение (2.1).
3. Внешний потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (1.7).
Действительно, подынтегральное выражение как функция
от Q удовлетворяет уравнению Лапласа, и остается только со-
слаться на возможность дифференцирования под знаком ин-
теграла.
Можно ли назвать внешний потенциал гармонической функ-
цией? Конечно, если внешнее по отношению к T пространство
связно. В противном случае он представляет собой несколь-
ко гармонических функций, определенных в разных областях.
17
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
