Составители:
Асимптотика градиента потенциала выводится аналогично
w = −
M
r
3
r +
M
r
3
r
c
−
3Mrr
c
r
5
r + O
ε
4
. (2.7)
Таким образом, любое тело притягивает далекие точки как
материальная точка той же массы, расположенная в произ-
вольной фиксированной точке пространства, с погрешностью
порядка ε
3
. Погрешность уменьшается до ε
4
, если материаль-
ную точку поместить в центр масс тела, обеспечив r
c
= 0.
Обратим внимание на естественный характер асимптотиче-
ских формул (2.6) и (2.7): с большого расстояния любое тело
видится точкой.
5. Поток W вектора w через произвольную замкнутую кусочно-
гладкую поверхность S определяется формулой Остроград-
ского–Гаусса
W = −4π M(S), (2.8)
где M(S) — часть массы тела T , заключенная внутри S.
Доказательство несложно. Для каждого элемента массы dm
справедлива формула (1.10), и нужно лишь просуммировать
по всем элементам. Заметим только, что масса T , лежащая
непосредственно на двумерной поверхности S, принимается
равной нулю. Если T одномерно, то достаточно потребовать,
чтобы T и S имели конечное число общих точек, ни в одной из
которых не была бы сосредоточена ненулевая масса. Если T
двумерно, то достаточно потребовать, чтобы T и S пересека-
лись бы по конечному числу кусочно-гладких кривых, ни в
одной из которых не была бы сосредоточена ненулевая масса.
Если T трехмерно, то достаточно потребовать, чтобы в общей
с T части поверхности S не была бы сосредоточена ненулевая
масса.
6. Потенциал симметричного тела симметричен. Если тело T пе-
реходит в себя после некоторого преобразования простран-
ства, то в себя перейдет и его потенциал. Точнее, потенциал
(и его производные) инвариантны относительно указанного
преобразования.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
