Составители:
Глава 3
Потенциал одномерных тел
Потенциал материальной кривой T с линейной плотностью α
в R
3
в силу (2.2) определяется криволинейным интегралом
V (Q) = V (x, y, z) =
Z
T
α(x
0
, y
0
, z
0
) ds
p
(x
0
− x)
2
+ (y
0
− y)
2
+ (z
0
− z)
2
, (3.1)
где ds — элемент длины T , см. рис. 3.1. От кривой T достаточно по-
требовать лишь спрямляемости, хотя в приложениях встречаются
почти исключительно кусочно-гладкие кривые. От плотности α до-
статочно потребовать интегрируемости, хотя на практике α оказы-
вается кусочно-гладкой с возможным обращением в бесконечность
в конечном числе точек. Физическая размерность линейной плот-
ности α в системе СИ — кг/м.
Внутренний потенциал в одномерном случае обращается в бес-
конечность. Действительно, фиксируем точку Q ∈ T , в которой
плотность положительна и непрерывна. Параметризуем кривую
длиной дуги s, отсчитываемой от Q. Как обычно, кривую счита-
ем ориентированной, так что s > 0 при Q
0
правее Q, и s < 0 при Q
0
левее Q. Евклидово расстояние между Q и Q
0
не превосходит рас-
стояния |s| вдоль кривой. Фиксируем малую окрестность [−s
0
, s
0
]
точки Q на кривой T , в которой плотность α > α
0
при α
0
> 0.
Тогда
V (Q) > α
0
Z
s
0
−s
0
ds
|s|
= ∞.
Физически обращение потенциала в бесконечность означает, что
для отрыва частицы от материальной кривой необходима беско-
нечная работа. Разумеется, отрыв пылинки от проволоки большой
21
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
