Составители:
Пример 3.1. Отрезок.
Пусть T — отрезок оси z, расположенный между точками
Q
1
(0, 0, a) и Q
2
(0, 0, b), a < b. Линейная плотность отрезка рав-
на α(z), а масса
M =
Z
b
a
α(z) dz.
По симметрии потенциал в цилиндрических координатах R, ϕ, z
зависит только от R, z и согласно (3.1) равен
V (Q) = V (R, z) =
Z
b
a
α(t) dt
p
R
2
+ (t −z)
2
. (3.3)
Переменную интегрирования z
0
мы для удобства обозначили че-
рез t.
Интеграл (3.3) элементарен для широкого класса плотностей.
В частности, если α — многочлен. Мы вычислим его в трех случаях,
представляющих наибольший интерес.
Пример 3.2. Однородный отрезок.
Пусть плотность постоянна. Интеграл (3.3) — табличный. Окон-
чательно,
V (R, z) = α ln
b −z +
p
R
2
+ (b −z)
2
a −z +
p
R
2
+ (a −z)
2
, R 6= 0. (3.4)
В точках отрезка (R = 0, a 6 z 6 b) в согласии с общей теори-
ей потенциал (3.4) обращается в бесконечность (логарифмическая
сингулярность). На оси z вне отрезка особенностей, естественно,
нет:
V (0, z) =
α ln
b −z
a − z
, если z < a,
α ln
z −a
z −b
, если z > b.
(3.5)
Первая из формул (3.5) — результат подстановки R = 0 в (3.4),
вторая — предельного перехода R → 0.
В согласии с общей теорией потенциал аналитически зависит
от R, z вне отрезка T .
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
