Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

сделаем подстановку z
0
− z = t и представим его в форме
V (R, z) =
A
a
2
Z
a−z
−a−z
a
2
+ R
2
− z
2
√
t
2
+ R
2
−
2zt
√
t
2
+ R
2
−
p
t
2
+ R
2
dt.
С учетом (7.1)
V =
A
2a
2
"
(3z − a)
p
(z + a)
2
+ R
2
− (3z + a)
p
(z − a)
2
+ R
2
+
+
2a
2
+ R
2
− 2z
2
ln
p
(a − z)
2
+ R
2
+ a − z
p
(a + z)
2
+ R
2
− a − z
#
.
На оси z вне T логарифмический член надо преобразовать по ти-
пу (3.5).
Пример 3.4. Отрезок оси z между точками ±a, где a > 0, с инте-
грируемой сингулярностью на концах
α(z) = A
1 −
z
2
a
2
−1/2
.
В соответствующем определяющем интеграле сделаем стандарт-
ную замену z
0
= a cos t:
V (R, z) = Aa
Z
π
0
dt
p
(z − a cos t)
2
+ R
2
. (3.8)
Интеграл (3.8) с точностью до обозначений совпадает с (7.8), так
что можно воспользоваться формулой (7.13)
V (R, z) = B K(k). (3.9)
Здесь
k =
s
γ(a − zγ)
z(1 − γ
2
)
, B = 2A
r
aγ
z(1 − γ
2
)
, (3.10)
где
γ =
R
2
+ z
2
+ a
2
−
p
(R
2
+ z
2
+ a
2
)
2
− 4a
2
z
2
2az
. (3.11)
25

Страницы