Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Модуль k полного эллиптического интеграла первого рода K(k)
всегда меньше единицы. При малых z в (3.10), (3.11) следует ис-
ключить сингулярность. Достаточно представить (3.11) в форме
γ =
2az
R
2
+ z
2
+ a
2
+
p
(R
2
+ z
2
+ a
2
)
2
− 4a
2
z
2
. (3.12)
На оси z потенциал элементарен
V (0, z) =
Aaπ
√
z
2
− a
2
. (3.13)
В горизонтальной плоскости
V (R, 0) =
2Aa
√
R
2
+ a
2
K
a
√
R
2
+ a
2
. (3.14)
Пример 3.5. Окружность.
Рассмотрим окружность x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = 0 с ли-
нейной плотностью α(ϕ). В цилиндрических координатах элемент
массы dm = a α(ϕ) dϕ,
V (R, ϕ, z) = a
Z
2π
0
α(ϕ
0
) dϕ
0
p
a
2
− 2aR cos(ϕ
0
− ϕ) + R
2
+ z
2
. (3.15)
Совершим замену переменных
t = (ϕ
0
− ϕ − π)/2 , ϕ
0
= 2t + ϕ + π.
В результате
V =
2a
p
(a + R)
2
+ z
2
Z
t
2
t
1
α(2t + ϕ + π) dt
p
1 − k
2
sin
2
t
, (3.16)
где
k =
s
4aR
(a + R)
2
+ z
2
, t
1
= −
π + ϕ
2
, t
2
=
π −ϕ
2
, t
2
− t
1
= π.
Очевидно, 0 6 k 6 1, причем k = 0 на оси z (при R = 0), k = 1 на
самой окружности T (R = a, z = 0).
26

Страницы