Составители:
Пример 3.6. Однородная окружность.
Пусть α постоянна. Интеграл (3.16) распространен на проме-
жуток длины π, равной периоду подынтегральной функции. Его
можно заменить на промежуток [−π/2, π/2]. Окончательно,
V (R, z) =
4aα
p
(a + R)
2
+ z
2
K(k). (3.17)
На окружности k = 1, что приводит к логарифмической сингу-
лярности. При малом расстоянии s =
p
(R − a)
2
+ z
2
точки Q от
окружности
k
2
= 1 −
s
2
4a
2
+ . . . , k
02
= 1 − k
2
=
s
2
4a
2
+ . . .
Используем разложение (Бейтмен, Эрдейи, 1967), (Градштейн,
Рыжик, 1971), пригодное в окрестности особой точки k = 1, k
0
= 0
K(k) = ln
4
k
0
+
1
4
ln
4
k
0
− 1
k
02
+ . . . (3.18)
Подставляя (3.18) в (3.17), найдем асимптотику потенциала в
окрестности притягивающей окружности
V (R, z) ∼ 2α ln
8a
s
. (3.19)
На оси z потенциал элементарен
V (0, z) =
2πaα
√
a
2
+ z
2
. (3.20)
Пример 3.7. Дуга однородной окружности.
Рассмотрим дугу однородной окружности с плотностью α, рас-
положенную между точками с азимутами ϕ
1
, ϕ
2
, причем ϕ
1
< ϕ
2
,
ϕ
2
− ϕ
1
6 2π. Интеграл (3.15) берется по дуге ϕ
1
6 ϕ
0
6 ϕ
2
,
а (3.16) — по дуге t
1
6 t 6 t
2
при
t
1
=
ϕ
1
− ϕ − π
2
, t
2
=
ϕ
2
− ϕ − π
2
, t
2
− t
1
=
ϕ
2
− ϕ
1
2
,
так что
V =
2aα
p
(a + R)
2
+ z
2
Z
t
2
t
1
dt
√
1 − k
2
sin
2
t
. (3.21)
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
