Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Исследуем поведение потенциала вблизи T . Пусть Q приближа-
ется к одной из внутренних точек Q(0, 0, z) отрезка T . Считаем z
фиксированным, a < z < b, R → 0. Преобразуем формулу (3.4)
b − z +
p
R
2
+ (b − z)
2
a − z +
p
R
2
+ (a − z)
2
=
=
2(b − z) + 2
−1
(b − z)
−1
R
2
+ O
R
4
2
−1
(z − a)
−1
R
2
− 8
−1
(z − a)
−3
R
4
+ O(R
6
)
=
=
4(z − a)(b − z)
R
2
1 +
R
2
4(z − a)
2
+
R
2
4(b − z)
2
+ O
R
4
,
V = α
ln
4(z −a)(b − z)
R
2
+
(z − a)
2
+ (b − z)
2
4(z −a)
2
(b − z)
2
R
2
+ O(R
4
)
. (3.6)
Заметим, что в (3.6) R = s, где s — расстояние от Q до T . Поэто-
му главный член асимптотики при Q, стремящейся к внутренней
точке T , совпадает с определяемым формулой (3.2).
Пусть теперь Q приближается к одному из концов отрезка,
например, к точке Q
1
. Малыми величинами будут ζ = z − a,
s =
p
x
2
+ y
2
+ ζ
2
. Тогда
b − z +
p
R
2
+ (b − z)
2
= 2(b − a)
1 −
ζ
b − a
+
s
2
− ζ
2
4(b − a)
2
+ O
s
3
,
a − z +
p
R
2
+ (a − z)
2
= s − ζ,
V = α
ln
2(b − a)
s − ζ
−
ζ
b − a
+
s
2
− 3ζ
2
4(b − a)
2
+ O
s
3
. (3.7)
Обратим внимание, что s > ζ, причем s = ζ только при R = 0,
z > a. В этом случае (3.7) показывает, что V = ∞, как и должно
быть для внутренней точки отрезка. При ζ = −s формула (3.7)
согласуется с первой из формул (3.5).
Пример 3.3. Отрезок оси z между точками ±a, где a > 0, с исче-
зающей на концах линейной плотностью
α(z) = A
1 −
z
2
a
2
.
В определяющем интеграле
V (R, z) =
A
a
2
Z
a
−a
a
2
− z
02
p
(z
0
− z)
2
+ R
2
dz
0
24

Страницы