Составители:
∂V
∂z
= 2β arctg
zv
√
u
2
+ z
2
− u
√
u
2
+ z
2
+
√
u
2
+ v
2
+ z
2
−
− 2β arctg
A
5
z
√
u
2
+ z
2
− u
.
По-прежнему ∂V /∂z ограничена, но не имеет предела при Q → Q
11
.
Переходим к потенциалу однородного треугольника. Начнем с
частного случая вычисления потенциала в точке, лежащей на пер-
пендикуляре к плоскости треугольника, проведенном через одну из
его вершин. Введем систему отсчета, в которой выделенная верши-
на совпадает с началом координат, а ось y параллельна противопо-
ложной стороне.
Пример 4.2. Однородный треугольник; потенциал над вершиной.
Задан однородный треугольник OQ
1
Q
2
с вершинами O(0, 0, 0),
Q
1
(a, b
1
, 0), Q
2
(a, b
2
, 0) и поверхностной плотностью β, причем
a > 0, b
2
> b
1
, так что обход контура T происходит в положитель-
ном направлении (рис. 4.1). Найдем потенциал T в точке Q(0, 0, z).
Применим формулу (4.2) в полярных координатах
V (Q) = β
Z
ϕ
2
ϕ
1
dϕ
Z
a/ cos ϕ
0
r dr
√
r
2
+ z
2
,
где ϕ
i
= arctg(b
i
/a). Внутренний интеграл равен
s
a
2
cos
2
ϕ
+ z
2
− |z|,
так что
V = βV
1
− β |z|(ϕ
2
− ϕ
1
),
где
V
1
=
Z
ϕ
2
ϕ
1
s
a
2
cos
2
ϕ
+ z
2
dϕ.
Интеграл берется подстановкой
t = tg ϕ, cos
−2
ϕ = 1 + t
2
, dt =
1 + t
2
dϕ :
V
1
=
Z
b
2
/a
b
1
/a
√
a
2
+ z
2
+ a
2
t
2
1 + t
2
dt.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
