Составители:
тации треугольника. Тогда обе вышеприведенные формулы можно
записать в виде
V (Q) = V (QQ
1
Q
2
) + V (QQ
2
Q
3
) + V (QQ
3
Q
1
).
То же верно во всех шести областях.
Резюмируем. Формулы (4.17) считаем справедливыми, допус-
кая −π < ϕ
i
6 π и считая ϕ
i
положительным при вращении
−−−−→
QQ
i+1
к
−−−−→
QQ
i+2
против часовой стрелки и отрицательным в противном слу-
чае. Угол ϕ
i
можно определить аналитически, рассматривая ска-
лярное и векторное приведение векторов
−−−−→
QQ
i+1
,
−−−−→
QQ
i+2
.
Формулы (4.16) остаются верными, если отбросить первое сла-
гаемое в правой части. Для большей общности можно заменить
его на
−|z|(ϕ
1
+ ϕ
2
+ ϕ
3
), (4.18)
так что сумма углов будет равна 2π при внутреннем положении
точки Q
0
и равна 0 при внешнем.
При пересечении точкой Q
0
границы треугольника некоторые
слагаемые (4.16), содержащие арктангенс, терпят разрыв. Пусть,
например, z > 0 остается постоянной, а Q
0
пересекает сторону
Q
1
Q
2
. При движении изнутри треугольника наружу sin ϕ
3
→ +0, а
при движении снаружи внутрь sin ϕ
3
→ −0. Выражение в квадрат-
ных скобках (4.16) стремится соответственно к +π и −π, а после
умножения на z — к +zπ и −zπ. В сумме с величиной (4.18) полу-
чаем в пределе −zπ независимо от направления движения.
Аналогичны рассуждения при движении Q
0
наружу через вер-
шину — например, Q
1
. В этом случае r
1
→ 0,
s
2
3
+ r
2
1
− r
2
2
= (s
3
− r
2
)(s
3
+ r
2
) + r
2
1
< Cr
1
,
поскольку модуль разности двух сторон треугольника меньше тре-
тьей стороны. Поэтому при i = 1 сингулярно лишь первое слагаемое
в квадратных скобках, и оно меняется скачком от +π/2 к −π/2.
Таково же поведение члена при i = 3. В результате сумма (4.16)
непрерывна.
При z = 0 слагаемое (4.18) исчезает, а в (4.16) остаются лишь
логарифмические члены.
Пример 4.4. Однородный многоугольник.
Пусть T — лежащий в плоскости xy однородный n-угольник
Q
1
Q
2
. . . Q
n
; ограничивающая его ломаная не имеет самопересече-
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
