Составители:
ний и обходит T в положительном направлении. Выпуклость T не
обязательна.
Представим потенциал T в точке Q суммой потенциалов ориен-
тированных треугольников T
i
= Q
0
Q
i
Q
i+1
. Здесь Q
0
— проекция Q
на плоскость xy, индекс i понимается по модулю n, i + n ≡ i. Лег-
ко убедиться по индукции, что учет ориентации оставляет в конце
концов вклад в потенциал только от T .
Таким образом, для потенциала многоугольника справедлива
формула (4.16) при суммировании по i от 1 до n. Первое слагаемое
в правой части в общем случае следует заменить на
−|z|(ϕ
1
+ ϕ
2
+ . . . + ϕ
n
). (4.19)
Пример 4.5. Однородная сфера.
Пусть T — однородная сфера радиуса a с постоянной поверх-
ностной плотностью β. Масса сферы равна
M = 4πa
2
β.
Воспользуемся сферическими координатами с началом в центре
сферы
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (4.20)
По симметрии потенциал зависит только от r. Можно считать,
что пробная точка имеет декартовы координаты Q(0, 0, r). Элемент
площади сферы равен dσ = a
2
sin θ dθ dϕ, поэтому согласно (4.1)
V (Q) = a
2
β
π
Z
0
sin θ dθ
√
a
2
− 2ar cos θ + r
2
2π
Z
0
dϕ.
Оба интеграла элементарны
V =
2πaβ
r
p
a
2
− 2ar cos θ + r
2
π
0
=
2πaβ
r
[(a + r) − |a − r|].
Окончательно,
V (r) =
(
M/a , если r 6 a,
M/r , если r > a.
(4.21)
Таким образом, сфера не притягивает внутренних точек, а внешние
притягивает, как точка той же массы в центре сферы.
40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
