Составители:
5. Если плотность является аналитической функцией координат,
то и внутренний потенциал — аналитическая функция.
В руководствах по теории потенциала доказывается, что это верно
в общем случае при сформулированных условиях.
Пример 5.1. Однородный тетраэдр; потенциал в вершине.
Пусть T — однородный тетраэдр Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
, изображенный на
рис. 5.1. Примем, что он обладает правой ориентацией. Именно,
x′
y′
z′
Q
1
Q
2
Q
3
Q
0
Q
1
(t)
Q
2
(t)
Q
3
(t)
Q
0
(t)
Q
4
Рис. 5.1. Правоориентированный тетраэдр. Вершина Q
4
(x, y, z) лежит
в верхнем полупространстве, так что z > 0. Вершины Q
i
(x
i
, y
i
, 0),
i = 1, 2, 3, лежат в плоскости z
0
= 0. Обход Q
1
Q
2
Q
3
происходит против
часовой стрелки, если смотреть с вершины Q
4
. Заштриховано сечение
Q
1
(t)Q
2
(t)Q
3
(t) тетраэдра плоскостью z
0
= z(1 − t), 0 6 t 6 1. Значе-
ние t = 0 отвечает вершине Q
4
, t = 1 — основанию Q
1
Q
2
Q
3
. Изображен
также перпендикуляр Q
4
Q
0
(t)Q
0
, опущенный из Q
4
на основание (ес-
ли двугранный угол у одного из ребер Q
1
Q
2
, Q
2
Q
3
или Q
3
Q
1
— тупой,
то Q
0
лежит вне треугольника Q
1
Q
2
Q
3
). Длины отрезков перпендику-
ляра: |Q
0
Q
0
(t)| = (1 − t)z, |Q
0
(t)Q
4
| = tz, |Q
0
Q
4
| = z.
выберем содержащую точки Q
1
Q
2
Q
3
плоскость за ориентирован-
ную плоскость x
0
y
0
(нам удобнее обозначать оси координат буквами
со штрихами). Считаем, что треугольник Q
1
Q
2
Q
3
обладает правой
ориентацией, а точка Q
4
лежит в верхнем полупространстве z
0
> 0.
Этого условия всегда можно добиться, нумеруя вершины надлежа-
щим образом.
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
