Составители:
Обозначим координаты Q
i
через (x
i
, y
i
, 0) для i = 1, 2, 3 и через
(x, y, z), z > 0, для i = 4.
Разобьем тетраэдр на бесконечно тонкие слои толщиной z dt
плоскостями z
0
= (1 − t)z (рис. 5.1).
Потенциал слоя равен потенциалу треугольника Q
1
(t)Q
2
(t)Q
3
(t)
с поверхностной плотностью %z dt. Потенциал же треугольника в
точке Q
4
определен формулой (4.16) с модификацией (4.18). Толь-
ко вместо треугольника Q
1
Q
2
Q
3
мы должны рассматривать подоб-
ный ему Q
1
(t)Q
2
(t)Q
3
(t). Точки Q
0
(t) и Q
0
= Q
0
(1) — пересечения
проходящей через Q
4
прямой, параллельной оси z
0
, с плоскостями
z
0
= (1 −t)z и z
0
= 0 — также расположены с сохранением подобия.
Поэтому в формуле (4.16) нужно сделать подстановку
r
i
7→ tr
i
, s
i
7→ ts
i
, ϕ
i
7→ ϕ
i
, z 7→ tz.
Выражения под знаком логарифма и арктангенса не изменятся.
В результате правую часть (4.16) следует умножить на %zt dt и
проинтегрировать по t от 0 до 1:
2V (Q
4
)
%z
= −z(ϕ
1
+ ϕ
2
+ ϕ
3
) +
+
3
X
i=1
r
i
r
i+1
sin ϕ
i+2
s
i+2
ln
r
2
i+1
− r
2
i
+ s
2
i+2
+ 2s
i+2
q
r
2
i+1
+ z
2
r
2
i+1
− r
2
i
− s
2
i+2
+ 2s
i+2
p
r
2
i
+ z
2
+
+ z
arctg
r
2
i+1
− r
2
i
+ s
2
i+2
z
2r
i
r
i+1
sin ϕ
i+2
q
r
2
i+1
+ z
2
−
− arctg
r
2
i+1
− r
2
i
− s
2
i+2
z
2r
i
r
i+1
sin ϕ
i+2
p
r
2
i
+ z
2
. (5.3)
Пример 5.2. Однородный тетраэдр.
Пусть теперь Q(x, y, z) — произвольная точка внутри T . По-
тенциал в точке Q будет суммой потенциалов четырех правоори-
ентированных тетраэдров T
n
: T
1
= Q
2
Q
4
Q
3
Q, T
2
= Q
3
Q
4
Q
1
Q,
T
3
= Q
1
Q
4
Q
2
Q, T
4
= Q
1
Q
2
Q
3
Q.
Запишем полученный результат аналитически. Фиксируем n.
Тетраэдру T
n
поставим в соответствие набор перестановок (ijkn)
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
