Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Вычислим скалярный квадрат, а также скалярное и векторное про-
изведения
|Q
i
Q
n0
|
2
= R
2
i
− ˜z
2
n
,
−−−−→
Q
i
Q
n0
·
−−−−→
Q
j
Q
n0
=
−−→
Q
i
Q ·
−−→
Q
j
Q − ˜z
2
n
,
−−−−→
Q
i
Q
n0
×
−−−−→
Q
j
Q
n0
=
−−→
Q
i
Q ×
−−→
Q
j
Q + ˜z
n
−−→
Q
j
Q −
−−→
Q
i
Q
× l
n
=
=
−−→
Q
i
Q ×
−−→
Q
j
Q − ˜z
n
−−−→
Q
i
Q
j
× l
n
.
Векторы
−−−−→
Q
i
Q
n0
и
−−−−→
Q
j
Q
n0
лежат в ортогональной вектору l
n
плос-
кости, следовательно, их векторное произведение коллинеарно l
n
:
−−−−→
Q
i
Q
n0
×
−−−−→
Q
j
Q
n0
= Φ l
n
.
Умножая это равенство скалярно на l
n
, получим
Φ =
−−→
Q
i
Q,
−−→
Q
j
Q, l
n
.
От координат точки Q величина Φ зависит не квадратично, а ли-
нейно. Действительно, представим
−−→
Q
j
Q =
−−→
Q
i
Q −
−−−→
Q
i
Q
j
, откуда
Φ = −
−−→
Q
i
Q,
−−−→
Q
i
Q
j
, l
n
.
Важно, что мы вычислили не модуль векторного произведения, а
его компоненту вдоль вектора l
n
. Теперь однозначно определяются
углы:
cos ϕ
nij
=
−−→
Q
i
Q ·
−−→
Q
j
Q − ˜z
2
n
q
(R
2
i
− ˜z
2
n
)(R
2
j
− ˜z
2
n
)
,
sin ϕ
nij
=
−−→
Q
i
Q,
−−→
Q
j
Q, l
n
q
(R
2
i
− ˜z
2
n
)(R
2
j
− ˜z
2
n
)
.
Дадим в заключение рабочие формулы, выражающие парамет-
ры через исходные координаты:
s
ij
=
q
(x
i
− x
j
)
2
+ (y
i
− y
j
)
2
+ (z
i
− z
j
)
2
,
R
i
=
p
(x −x
i
)
2
+ (y − y
i
)
2
+ (z − z
i
)
2
,
46

Страницы