Составители:
Пример 5.4. Тело сферической структуры.
Рассмотрим шар радиуса a, заполненный материей плотно-
сти %(r), зависящей лишь от расстояния r. Функцию %(r) считаем
кусочно-гладкой. Масса шара равна
M = 4π
Z
a
0
r
2
%(r) dr. (5.5)
По симметрии V зависит только от r. Действуя, как в примере 4.5,
считаем, что пробная точка имеет декартовы координаты Q(0, 0, r).
Элемент объема в сферических координатах равен dτ = r
2
dr dσ,
где dσ — элемент площади единичной сферы σ. Поэтому соглас-
но (5.1)
V (r) =
Z
a
0
%(r
0
) dr
0
ZZ
σ
r
02
dσ
√
r
2
− 2rr
0
cos θ + r
02
. (5.6)
Внутренний интеграл (5.6) определяет потенциал сферы единич-
ной плотности радиусом r
0
, найденный ранее, см. формулы (4.21).
В результате при r < a
V (r) =
4π
r
Z
r
0
%(t) t
2
dt + 4π
Z
a
r
%(t) t dt. (5.7)
Для внешнего потенциала второй из интегралов исчезает, а пер-
вый берется в пределах от 0 до a:
V (r) =
M
r
, если r > a. (5.8)
Выражение для градиента содержит лишь один интеграл
∂V (r)
∂r
= −
4π
r
2
Z
r
0
%(t) t
2
dt = −
M(r)
r
2
, (5.9)
где M(r) — масса тела внутри сферы радиусом r. Таким образом,
внешние слои тела сферической структуры не притягивают вну-
тренних точек. Заметим, что представление (5.9) годится и для
внутреннего, и для внешнего потенциала.
Пример 5.5. Гравитационное поле в окрестности тела сфериче-
ской структуры.
Рассмотрим внешний потенциал (5.8) в окрестности поверхности
шара. В силу сферической симметрии можно считать, что пробная
49
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
