Составители:
точка имеет декартовы координаты Q(x, y, a + z). Считаем отноше-
ния x/a, y/a, z/a малыми, z — положительным. Раскладывая
1
r
=
1
p
x
2
+ y
2
+ (a + z)
2
в ряд Маклорена, получим
V =
M
a
−
M
a
2
z +
M
2a
3
2z
2
− x
2
− y
2
+ . . .
Постоянное первое слагаемое можно отбросить. Ускорение свобод-
ного падения на уровне границы шара r = a обозначим через
g = M/a
2
. В результате
V (Q) = V (x, y, a + z) = −gz +
g
a
z
2
−
x
2
+ y
2
2
+ . . . (5.10)
Для градиента
w
x
= −
x
a
g + . . . , w
y
= −
y
a
g + . . . , w
z
= −g +
2z
a
g + . . . (5.11)
Если пренебречь малыми величинами первого порядка, получим
однородное гравитационное поле.
Потенциал тела сферической структуры элементарен для широ-
кого класса функций. Например, оба интеграла (5.7) элементарны,
если % — рациональная функция от r. Если % — многочлен, то и
интегралы — многочлены от r.
Пример 5.6. Однородный шар.
Пусть в примере 5.4 плотность постоянна. Внутренний потенци-
ал однородного шара равен
V (r) =
2π
3
%
3a
2
− r
2
. (5.12)
Задачи к главе 5
Задача 5.1. Найти потенциал шара с плотностью
%(r) =
n
X
k=0
c
k
r
k
. (5.13)
50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
