Задача двух тел. Холшевников К.В - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4. Функция g
sm
(e, M) =
r
a
s
cos mθ, s — целое, m — натураль-
ное. Для вычисления среднего значения перейдем к интегрирова-
нию по истинной аномалии
Eg
sm
(e) =
(1 − e
2
)
s+3/2
2π
Z
2π
0
cos mθ dθ
(1 + e cos θ)
s+2
.
Сделаем подстановку θ 7→ π + θ:
Eg
sm
(e) = (−1)
m
(1 − e
2
)
s+3/2
2π
Z
2π
0
cos mθ dθ
(1 − e cos θ)
s+2
,
откуда в согласии с (3.138) дает
Eg
sm
(e) = (−1)
m
(1 −e
2
)
s+3/2
Ef
−s−3,m
(e), (3.142)
что сводит вычисление Eg
sm
к уже решенной задаче вычисления
Ef
sm
.
5. Степени скорости. Запишем интеграл энергии в виде
v
2
=
κ
2
a
1 + e cosE
1 −e cosE
,
или
v = v
c
r
1 + e cosE
1 −e cosE
, (3.143)
где v
c
= κ/
√
a — круговая скорость на расстоянии a. Отсюда
E
v
v
c
s
=
1
2π
Z
π
−π
(1 + e cos E)
s/2
(1 −e cosE)
(s−2)/2
dE. (3.144)
Интеграл не меняется при замене e на −e, как показывает подста-
новка θ 7→ (θ + π). Поэтому
E
v
c
v
s
= E
v
v
c
s+2
. (3.145)
При четном s интеграл (3.144) элементарен. При s = 2 он равен еди-
нице — ср. с формулой (3.126). Таким образом, круговая скорость
на расстоянии a совпадает со среднеквадратичной скоростью.
Несложно вычислить интеграл (3.144) и при s = 4:
E
v
v
c
4
=
1
2π
Z
π
−π
(1 + e cos E)
2
1 −e cos E
dE.
124

Страницы