Составители:
3.7. Некоторые другие разложения
В небесной механике известно много других разложений, — на-
пример, в ряды Фурье по кратным эксцентрической и истинной ано-
малии. Их можно найти в объемистых учебниках (Дубошин, 1975),
(Субботин, 1968), (Уинтнер, 1967). Мы ограничимся несколькими
примерами, отражающими основные приемы, ведущие к цели.
1. Уравнение
tg y = b tg x, (3.150)
где x, y — углы, b — положительный параметр. Требуется найти y
как непрерывную функцию от x, обращающуюся в нуль при x = 0.
Уравнение вида (3.150) нам уже известно. Это соотношение
(1.28), связывающее эксцентрическую и истинную аномалии. Оно
встречается и в других задачах астрономии. Например, в сфериче-
ской тригонометрии (рис. 3.2) оно связывает гипотенузу y, катет x
и угол между ними ϕ, b = 1/ cos ϕ.
A B
C
x
y
ϕ
π/2
Рис. 3.2. Прямоугольный сферический треугольник.
Предложенный еще Л. Эйлером (до Ж. Фурье!) прием решения
подобных уравнений заключается в замене тригонометрических
функций экспонентами, разложением в ряд Лорана и возвращением
к тригонометрическим функциям. В конкретном случае уравнения
(3.150) положим
ξ = Exp x, η = Exp y, β =
b − 1
b + 1
,
откуда
b =
1 + β
1 − β
, i tg x =
ξ − ξ
−1
ξ + ξ
−1
, i tg y =
η − η
−1
η + η
−1
.
126
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
