Задача двух тел. Холшевников К.В - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение (3.150) принимает форму
η
2
− 1
η
2
+ 1
= b
ξ
2
− 1
ξ
2
+ 1
⇐⇒ η
2
= ξ
2
1 − βξ
−2
1 − βξ
2
.
Логарифмируем последнее равенство. Поскольку y = 0 при x = 0,
то в окрестности этих значений нужные нам ветви логарифма суть
ln ξ = ix, ln η = iy, так что
2iy = 2ix + ln(1 − βξ
−2
) − ln(1 − βξ
2
),
или
y = x +
∞
X
n=1
β
n
n
ξ
2n
− ξ
−2n
2i
.
Возвращаясь к тригонометрическим функциям, получаем оконча-
тельно
y = x +
∞
X
n=1
β
n
n
sin 2nx. (3.151)
Ряд этот абсолютно сходится при |β| < 1 и всех вещественных
x. При x = kπ/2 — это ряд из нулей. Для других значений x при
β = ±1 ряд сходится условно, а при |β| > 1 расходится. Величина
β с ростом b от 0 до ∞ возрастает от −1 до 1, принимая значение 0
при b = 1. Таким образом, ряд (3.151) сходится для всех значений
b. Скорость сходимости тем выше, чем ближе β к нулю, или, что то
же, чем ближе b к единице.
Уравнение (3.150) инвариантно относительно подстановки
x ←→ y, b 7→ b
−1
, β 7→ −β. Поэтому из (3.151) автоматически сле-
дует
x = y +
∞
X
n=1
(−1)
n
n
β
n
sin 2ny. (3.152)
Для задачи из сферической тригонометрии b = 1/ cos ϕ =⇒ β =
tg
2
ϕ/2. Условие b > 0 равносильно остроте угла ϕ, и тогда
0 6 β < 1. Ряд сходится тем быстрее, чем меньше ϕ.
Для задачи о связи эксцентрической и истинной аномалии x =
E/2, y = θ/2,
b =
r
1 + e
1 −e
, β =
e
1 +
√
1 − e
2
, (3.153)
так что β здесь и в главе 1 обозначает одно и то же.
127

Страницы