Задача двух тел. Холшевников К.В - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Разложения
θ − E =
∞
X
n=1
2
n
β
n
sin nE =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
2
n
β
n
sin nθ (3.154)
сходятся абсолютно при 0 6 e < 1 ⇐⇒ 0 6 β < 1 и условно при
e = β = 1 для всех вещественных E, θ. Однако их справедливость
установлена для 0 6 e < 1. Что будет при e = 1 (см. задачи 3.34,
3.35)?
2. Уравнение центра. Функцию (θ − M) легко представить ря-
дом Фурье по кратным эксцентрической или истинной аномалии.
Комбинируя первое из уравнений (3.154) с уравнением Кеплера,
получаем сразу
θ − M = c
1
sin E +
∞
X
n=2
2
n
β
n
sin nE, (3.155)
где
c
1
=
3 +
√
1 − e
2
1 +
√
1 − e
2
e = 2β
2 + β
2
1 + β
2
.
Когда аргументом служит истинная аномалия, следует воспользо-
ваться одной из формул (1.42)
sin E =
√
1 − e
2
sin θ
1 + e cos θ
и аналогом (3.140)
1
1 + e cos θ
=
1 + β
2
1 + 2β cos θ + β
2
=
1 + β
2
1 − β
2
1 + 2
∞
X
n=1
(−β)
n
cos nθ
!
,
где в конце использовано представление (3.87) при n = 1 с учетом
(3.92). Отсюда
sin E = sin θ+2
∞
X
n=1
(−β)
n
sin θ cos nθ =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
(β
n−1
−β
n+1
) sin nθ.
Осталось воспользоваться вторым из соотношений (3.154)
θ − M = 2
∞
X
n=1
(−1)
n−1
β
n
1
n
+
1 − β
2
1 + β
2
sin nθ. (3.156)
Области сходимости рядов (3.156) и (3.154) совпадают.
128

Страницы