Задача двух тел. Холшевников К.В - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

При s > −1 следует пользоваться первой из формул (3.131). По
формуле бинома
(1 − e cos E)
s+1
=
s+1
X
k=0
s + 1
k
(−e)
k
cos
k
E. (3.132)
Остается применить результаты задачи 3.25 при m = 0:
E
r
a
s
=
b(s+1)/2c
X
k=0
(s + 1)!e
2k
(s + 1 −2k)!(2
k
k!)
2
. (3.133)
В частности,
E
a
r
= E1 = 1, E
r
a
= 1 +
e
2
2
, E
r
a
2
= 1 +
3
2
e
2
, (3.134)
что согласуется с (3.113), (3.114).
При s 6 −2 следует пользоваться второй из формул (3.131).
Сравнивая ее с первой, получаем интересное соотношение
E
a
r
s+3
=
1 − e
2
−s−3/2
E
r
a
s
. (3.135)
Здесь использовано, что оба интеграла (3.131) инвариантны отно-
сительно замены e 7→ −e. С учетом (3.133)
E
a
r
s
=
1 − e
2
3/2−s
b(s−2)/2c
X
k=0
(s − 2)!e
2k
(s − 2 − 2k)!(2
k
k!)
2
(3.136)
при s > 2. В частности,
E
a
r
2
=
1
√
1 − e
2
, E
a
r
3
= (1 − e
2
)
−3/2
,
E
a
r
4
= (1 − e
2
)
−5/2
1 +
e
2
2
. (3.137)
3. Функция f
sm
(e, M) =
r
a
s
cos mE, s — целое, m — натураль-
ное. Для вычисления среднего значения перейдем к интегрирова-
нию по эксцентрической аномалии:
Ef
sm
(e) =
1
2π
Z
2π
0
(1 − e cos E)
s+1
cos mE dE. (3.138)
122

Страницы