Составители:
Как функция от переменной g функция X четна и разлагается
в ряд по степеням g
2
, и далее в ряд по степеням x:
X =
4
3
+
2
5
g
2
+ . . . , g
2
= 4x +
4
3
x
2
+ . . . ,
откуда
X(x) =
4
3
+
8
5
x + . . . .
Стандартным способом легко получить и общий член разложения:
X(x) =
∞
X
n=0
(2n + 4)!!
2(2n + 3)!!
x
n
, (4.24)
поскольку X удовлетворяет дифференциальному уравнению
2(x − x
2
)
dX
dx
= 4 − (3 − 6x)X. (4.25)
Представление (4.24) показывает, что X — гипергеометрическая
функция:
X(x) =
4
3
F
1, 3,
5
2
, x
. (4.26)
При малых x следует пользоваться рядом (4.24), при больших —
формулой (4.21).
Итак, первое из уравнений (4.22) содержит в левой части ку-
бический полином от η, а в правой — функцию от неизвестного x,
которая связана с η вторым соотношением (4.22). Вычислительный
алгоритм для определения η такой. В качестве нулевого приближе-
ния берем η
0
= 1,
x
n
= mη
−2
n
− l. (4.27)
Далее вычисляем X
n
= X(x
n
) и решаем кубическое уравне-
ние (4.22), корень, который больше единицы, принимаем за η
n+1
.
Согласно задачам 4.7, 4.9 нужный корень существует, единствен и
выражается через радикалы от вещественных аргументов.
Процесс повторяется до достижения требуемой точности. Если
имеющиеся наблюдения дают значение g < 4
◦
, то можно использо-
вать следующую приближенную формулу, которая имеет ошибку,
не превышающую единицы шестого знака (Субботин, 1968):
η ≈ 1 +
4
3
m
1 − 1.1
4
3
m
− 1.2l
. (4.28)
161
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- …
- следующая ›
- последняя »
