Составители:
1.4. Эллипс и гипербола
Мы доказали, что при c > 0 орбитой служит коническое сече-
ние (эллипс, гипербола или парабола), а при c = 0 орбита лежит на
луче. Осталось найти положение точки на орбите (по терминоло-
гии теоретической механики получить кинематическое уравнение).
Начнем со случая эллипса c > 0, −κ
4
/2c
2
6 h < 0, 0 < p 6 a,
0 6 e < 1. Перейдем к системе O
3
. На невырожденном эллипсе
угол g определяется однозначно вместе с перицентром. При e = 0,
на окружности, любая точка может считаться перицентром и g про-
извольно. В любом случае система O
3
существует. Следуя Кеплеру,
параметризуем эллипс наряду с истинной аномалией θ также экс-
центрической анамалией E:
x
3
= r cos θ = a cos E −ae, y
3
= r sin θ = a
p
1 − e
2
sin E. (1.26)
Появление слагаемого (−ae) вызвано тем, что начало координат
находится не в центре, а в фокусе эллипса. Из (1.26) следует
r
2
= a
2
(1 − e cos E)
2
. Выражение в скобках положительно в силу
0 6 e < 1. Оно неотрицательно и при e = 1, этот случай нам пона-
добится ниже. Поэтому
r = a(1 − e cos E). (1.27)
Геометрический смысл эксцентрической аномалии раскрывает
рис. 1.7.
Тригонометрические функции истинной и эксцентрической ано-
малий легко выражаются друг через друга. Полученные в зада-
че 1.22 формулы показывают интересное свойство: подстановка
e ←→ −e, E ←→ θ оставляет любую формулу вида f(e, θ, E) = 0
справедливой. Из результата задачи 1.23 вытекает связь между
аномалиями
tg
θ
2
=
r
1 + e
1 − e
tg
E
2
. (1.28)
Связь однозначна, так как согласно второй из формул (1.26) углы
θ, E одновременно находятся либо в верхней, либо в нижней по-
луплоскости (см. также рис. 1.7). С вычислительной точки зрения
равенство (1.28) неудобно вблизи апоцентра θ ≈ π, E ≈ π. Этого
неудобства легко избежать, пользуясь формулой
θ − E = 2 arctg
β sin E
1 − β cos E
= 2 arctg
β sin θ
1 + β cos θ
. (1.29)
22
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
