Составители:
2.4. Теоретико-множественное расстояние
Рассмотренная задача о пересечении орбит важна при проек-
тировании орбит космических аппаратов, при построении траекто-
рий перехода с одних орбит на другие, при изучении столкновений
небесных тел — как естественных, так и искусственных. Поскольку
небесные тела имеют конечные размеры, больший интерес пред-
ставляет не вопрос пересекаются орбиты или нет, а вопрос о рас-
стоянии между орбитами, понимаемом в смысле теории множеств:
δ(E, E
0
) = inf QQ
0
, (2.36)
где QQ
0
— евклидово расстояние между точками Q ∈ E и Q
0
∈ E
0
.
Для двух эллипсов нижняя граница достигается, δ совпадает с ве-
личиной
δ
0
(E, E
0
) = min QQ
0
. (2.37)
Пример 6. Пусть E, E
0
— гиперболы, обе асимптоты которых па-
раллельны, см. рис. 2.9. Легко показать, что гиперболы компланар-
ны, а их эксцентриситеты совпадают. Расстояние между асимпто-
тами
d = |a − a
0
|
p
e
2
− 1 ,
а расстояние между перицентрами —
d
0
= |a − a
0
|(e − 1).
Поскольку d > d
0
, то минимум в (2.37) достигается и δ = δ
0
. Пока-
жем, что δ
0
= d
0
. Пусть Q ∈ E, Q
0
∈ E
0
— точки, расстояние между
которыми равно δ
0
. Касательные к E, E
0
в этих точках нормаль-
ны к отрезку QQ
0
и тем самым параллельны друг другу. Кривые
E, E
0
подобны с центром подобия O. Их касательные, лежащие на
выходящем из O луче, параллельны. Но никакие касательные к
гиперболе в двух различных точках не параллельны друг другу.
Следовательно, Q и Q
0
лежат на одном луче OQQ
0
. Поскольку ка-
сательная в отличной от перицентра точке образует острый угол с
OQQ
0
, то точки Q и Q
0
лежит в перицентрах E и E
0
, QQ
0
= d
0
, что
и требовалось доказать.
В общем случае δ существует всегда, δ
0
или совпадает с δ, или
не существует. Задачи 2.23–2.26 полностью решают вопрос о соот-
ношении между δ и δ
0
.
75
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
