Задача двух тел. Холшевников К.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

являются тригонометрическими многочленами от E степени 0, 1
или 2.
Чтобы найти все критические точки функции W — в том числе
дающие ее наименьшее значение δ
2
0
/(2aa
0
), — достаточно решить си-
стему двух тригонометрических уравнений (2.41) второго порядка.
Напомним, что тригонометрический многочлен порядка n эквива-
лентен алгебраическому многочлену порядка 2n.
Оптимальный алгоритм решения системы (2.41) состоит в ис-
ключении одной из переменных, т.е. нахождении тригонометриче-
ского многочлена G(E), обращающегося в нуль на каждом решении
системы (2.41). Опуская громоздкие выкладки, приведем оконча-
тельный результат:
G(E)=K
2
(A
2
−C
2
)(B
2
−C
2
) + 2KC
NA(A
2
−C
2
) + MB(B
2
−C
2
)
−
−(A
2
+ B
2
)
N
2
(A
2
− C
2
) + M
2
(B
2
− C
2
) − 2 NMAB
. (2.42)
Решив уравнение
G(E) = 0, (2.43)
найдем из первого из соотношений (2.41)
cos E
0
=
BC + mA
√
D
A
2
+ B
2
, sin E
0
=
AC − mB
√
D
A
2
+ B
2
при
D = A
2
+ B
2
− C
2
, m = ±1.
Знак m должен быть выбран так, чтобы удовлетворить второму из
уравнений (2.41).
Вывод полинома G(E), обсуждение свойств решений уравне-
ний (2.41), (2.43) в общем и вырожденных случаях, распростра-
нение алгоритма на пары орбит произвольного типа можно найти
в (Kholshevnikov, Vassiliev, 1999b), (Baluyev, Kholshevnikov, 2005).
Здесь опишем лишь основные свойства в биэллиптическом случае.
• В общем случае степень тригонометрического многочлена G
равна восьми; не существует многочлена
˜
G меньшей степени
такого, чтобы уравнение
˜
G(E) = 0 было следствием (2.41).
• В вырожденных случаях степень G можно уменьшить. Макси-
мальное вырождение — случай компланарных окружностей.
В этом и только этом случае G ≡ 0.
78

Страницы