Задача двух тел. Холшевников К.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

• Число различных вещественных корней G на окружности
0 6 E < 2π не меньше трех; за исключением случая двух
компланарных окружностей число корней G не превосхо-
дит 16.
2.5. Симметрии
Некоторые группы симметрии задачи двух тел получаются из
общих свойств динамической системы. Пример такой группы, сдвиг
по траектории, уже приведен в разделе 1.7.: задача двух тел опи-
сывается автономной системой дифференциальных уравнений, сле-
довательно, если r(t) — решение задачи, то при ∀τ r(t + τ ) также
будет решением задачи. Увы, как уже сказано в разделе 1.7., чтобы
найти оператор сдвига, необходимо знать решение системы (1.1).
Еще одно общее свойство, которым обладает задача двух тел,
состоит в том, что силовая функция задачи центральна: потенциал
зависит только от расстояния между телами. Очевидно, что тра-
ектории задач с центральной силовой функцией, а, значит, и тра-
ектории задачи двух тел остаются инвариантными при вращениях
трехмерного пространства O(3). Разумеется, можно ограничиться
плоским случаем O(2). Если r(t) — решение задачи двух тел, то
r
T
(t) = A(i, Ω, g)r(t)
также является решением задачи двух тел. Здесь матрица A дается
формулами (1.24).
И, наконец, последнее общее свойство, позволяющее нам по-
лучить еще одну симметрию задачи двух тел, состоит в том,
что потенциал — однородная функция координат: V (λx, λy, λz) =
λ
α
V (x, y, z) при α = −1, λ > 0. Поскольку кинетическая энергия
задачи — однородная функция степени 2 от импульсов, то новый
лагранжиан при изменении времени t
T
= λ
γ
t примет форму
L
T
= λ
2−2γ
T (
˙
r) − λ
α
V (r)
и, значит, для ньютоновского потенциала (α = −1)
r
T
(t) = λr(λ
−3/2
t)
является решением задачи двух тел вместе с r(t). Такая симмет-
рия называется симметрией растяжения или симметрией масштаба.
79

Страницы