Задача двух тел. Холшевников К.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

области функция f (w) может быть представлена вдоль решения
рядом
f(w(µ, z)) = f(z) +
∞
X
k=1
µ
k
k!
d
k−1
dz
k−1
f
0
(z)ϕ
k
(z)
, (3.30)
сходящимся при достаточно малых µ.
В частности, сами решения уравнений (3.27), (3.29) получаются
при f(w) = w, f(0) = 0, f
0
(w) = 1 и соответственно f(z) = z,
f
0
(z) = 1. Например,
w(µ, z) = z +
∞
X
k=1
µ
k
k!
d
k−1
dz
k−1
ϕ
k
(z)
. (3.31)
Уравнение Кеплера (3.20) имеет вид (3.29) при z = M, µ = e,
w = E, ϕ(w) = sin w = sin E. Поэтому решение дается изменением
обозначений в (3.31):
E − M =
∞
X
k=1
e
k
k!
d
k−1
dM
k−1
sin
k
M
. (3.32)
Рассмотренные три метода имеют свои достоинства и недостат-
ки. Итерации быстрее всего ведут к цели для первых двух-трех чле-
нов ряда. Формуле (3.25) или (3.32) трудно отдать предпочтение.
Последняя из них много изящнее, но при переходе от k к k + 1 про-
изводную высокого порядка надо брать от новой функции, так что
для больших k предпочтительнее (3.25). Зато из (3.32) легко выве-
сти, что a
k
— многочлен Фурье степени k по синусам кратных M с
рациональными коэффициентами, примерно половина из которых
обращается в нуль. Именно, ненулевыми являются лишь коэффи-
циенты при sin(k − 2s)M, s = 0, 1, . . . , bk/2c. Более того, из (3.32)
можно вывести явный вид a
k
как многочленов Фурье. Для это-
го обратимся к известным формулам тригонометрии (Градштейн,
Рыжик, 1971)
sin
2k
M =
k
X
s=0
a
2k,s
cos(2k − 2s)M,
sin
2k+1
M =
k
X
s=0
a
2k+1,s
sin(2k + 1 − 2s)M, (3.33)
97

Страницы