Задача двух тел. Холшевников К.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

движения. Ниже встретится введенная Леви-Ч´ивита функция γ =
β exp η. Исследуем их взаимозависимость при 0 6 e 6 1, а затем
найдем степенные разложения.
Выпишем определяющие соотношения
β =
e
1 + η
=
1 −η
e
, e =
2β
1 + β
2
, η =
p
1 −e
2
=
1 −β
2
1 + β
2
, γ = β exp η
(3.35)
и производные
dη
de
= −
e
η
,
d
2
η
de
2
= −
1
η
3
,
dβ
de
=
1
η(1 + η)
=
β
eη
,
d
2
β
de
2
=
β(1 + 2η)
η
3
(1 + η)
,
dγ
de
=
η
1 + η
exp η =
η
e
γ ,
d
2
γ
de
2
= −
1 + η + η
2
η(1 + η)
γ .
(3.36)
Очевидные свойства функций β(e), γ(e) и их двух производных по-
казывают, что с изменением e от нуля до единицы β(e) возрастает
от 0 до 1, оставаясь выпуклой вниз; γ(e) возрастает от 0 до 1, оста-
ваясь выпуклой вверх. Касательная к графику β(e) вертикальна, а
к графику γ(e) горизонтальна при e = 1.
Далее,
e − β = βη, γ − e = β(exp η −1 − η).
Правые части обоих равенств положительны внутри интервала 0 <
e < 1 и обращаются в нуль на его концах. Поэтому график β(e)
лежит ниже, а график γ(e) — выше главной диагонали единичного
квадрата (рис. 3.1).
γ(e)
β(e)
e
1
1
Рис. 3.1. Графики функций β(e), γ(e)
и тождественной функции.
Перейдем к степенным рядам.
99

Страницы