Составители:
1. Обозначим z = β
k
, k > 1. Для нахождения степенного ряда
составим дифференциальное уравнение для z(e). Продифференци-
руем z два раза:
z
0
(e) =
k
eη
z, z
00
(e) =
k
e
2
η
3
(−1 + 2e
2
+ kη)z,
откуда
e
2
(1 − e
2
)z
00
+ e(1 − 2e
2
)z
0
− k
2
z = 0. (3.37)
Очевидно, что величина β разлагается по нечетным степеням e,
поэтому искомый ряд имеет вид
z =
∞
X
n=0
c
kn
e
k+2n
. (3.38)
Подставим (3.38) в (3.37):
∞
X
n=0
(1 − e
2
)(k+2n)(k+2n−1) + (1 −2e
2
)(k+2n) − k
2
c
n
e
k+2n
= 0.
(3.39)
Для краткости мы часто будем опускать первый индекс у c
kn
. Оста-
ется приравнять нулю коэффициенты при одинаковых степенях
эксцентриситета:
e
k
: 0c
0
= 0,
e
k+2
: 4(k + 1)c
1
= (k + 1)kc
0
,
. . . . . .
e
k+2n
: 4n(k + n)c
n
= (k + 2n − 1)(k + 2n − 2)c
n−1
. (3.40)
Последнее из соотношений (3.40) справедливо при n > 1. Можно
считать его выполненным при n > 0, если принять естественное
соглашение c
−1
= 0.
Рекуррентность (3.40) легко разрешается:
c
n
=
k(k + 2n − 1)!
4
n
n!(k + n)!
c
0
. (3.41)
Коэффициент c
0
не может быть определен по однородному урав-
нению (3.37). Однако его нахождение не представляет труда. По
определению (3.35)
η = 1 −
1
2
e
2
+. . . , β =
e
2
1 +
e
2
4
+ . . .
, β
k
=
e
k
2
k
1 +
k
4
e
2
+ . . .
,
100
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
