Составители:
Замечание. Зачем в астрономической книге уделять внимание
арифметическим свойствам коэффициентов? Дело в том, что при
вычислениях в арифметике вещественных чисел происходит поте-
ря точности. Ее можно полностью избежать, если перейти к ариф-
метике рациональных чисел. Мы показали, что тот же результат
достигается переходом к конечным p-ичным дробям, если p делит-
ся на два — в частности, к самым распространенным двоичным,
восьмеричным и десятичным дробям.
2. Обозначим
e
k
=
∞
X
n=0
a
kn
β
k+2n
, k > 1. (3.44)
Согласно (3.35) последний ряд — биномиальный, так что
a
kn
= (−1)
n
2
k
(k + n − 1)!
n!(k − 1)!
= 2
k
(−1)
n
k + n − 1
n
. (3.45)
Поскольку биномиальные коэффициенты — целые числа, целыми
являются и a
kn
. В частности, для k = 1 имеем a
1n
= 2(−1)
n
.
3. Величина γ встречается реже и мы исследуем только первую
ее степень. Обозначим
γ(β) = e
∞
X
n=0
γ
n
β
2n+1
, (3.46)
где e = 2.71828 . . . — неперово число. Этот множитель введен, чтобы
согласно (3.35) обратить γ
0
в единицу. Из (3.36) выводим диффе-
ренциальное уравнение
β(1 + β
2
)
2
γ
0
= (1 − β
2
)
2
γ, (3.47)
а далее соотношение типа (3.39)
∞
X
n=0
[2n + 4(n + 1)β
2
+ 2nβ
4
]γ
n
β
2n+1
= 0 (3.48)
и рекуррентности
0γ
0
= 0, γ
1
+ 2γ
0
= 0, nγ
n
+ 2nγ
n−1
+ (n − 2)γ
n−2
= 0. (3.49)
Последняя формула справедлива при n > 0, если условиться γ
−1
=
γ
−2
= 0. Вычисляя последовательно γ
n
, получаем
γ(β) = eβ
1 − 2β
2
+ 4β
4
−
22
3
β
6
+
38
3
β
8
+ . . .
. (3.50)
102
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
