Задача двух тел. Холшевников К.В - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Согласно задаче 3.9 коэффициенты γ
n
знакочередуются и возрас-
тают по модулю.
Точно так же для
γ(e) =
e
2
∞
X
n=0
δ
n
e
2n+1
(3.51)
найдем последовательно
e
2
(1 − e
2
)γ
00
+ eγ
0
− (1 − e
2
)
2
γ = 0, (3.52)
∞
X
n=0
2n(2n + 1)(1 − e
2
) + (2n + 1) − (1 − e
2
)
2
δ
n
e
2n+1
= 0, (3.53)
0δ
0
= 0, 4δ
1
+δ
0
= 0, 4n(n+1)δ
n
−2n(2n−3)δ
n−1
−δ
n−2
= 0. (3.54)
Вычисляя последовательно δ
n
, находим
γ(e) =
ee
2
1 −
1
4
e
2
−
1
192
e
6
−
1
384
e
8
− . . .
. (3.55)
Из (3.54) следует, что δ
2
= 0, а δ
1
и δ
n
при n > 3 отрицательны, убы-
вают по модулю, а их отношение стремится к единице при n → ∞.
Отсюда вытекает, что все производные от γ(e), начиная со второй,
отрицательны при 0 < e < 1.
4. Перейдем к обратным функциям. Для них не удается соста-
вить линейное дифференциальное уравнение. Проще всего подста-
вить искомый ряд непосредственно в (3.50). Предварительно сде-
лаем естественную замену γ = e¯γ и обозначим
β =
∞
X
n=0
b
n
¯γ
2n+1
. (3.56)
Указанная подстановка принимает вид
¯γ =
∞
X
n=0
b
n
¯γ
2n+1
− 2
∞
X
n=0
b
n
¯γ
2n+1
!
3
+ 4
∞
X
n=0
b
n
¯γ
2n+1
!
5
+ . . .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ¯γ:
103

Страницы