Составители:
откуда
c
k0
=
1
2
k
, c
k1
=
k
2
k+2
.
Подставляя в (3.41), получаем окончательно
c
kn
=
k(k + 2n − 1)!
2
k+2n
n!(k + n)!
(k > 1, n > 0). (3.42)
Коэффициенты c
kn
положительны. Поэтому не только первые
две производные от β по e, но и производные любого порядка от β
k
по e положительны.
Для иллюстрации выпишем разложение β:
β = e
1
2
+
1
8
e
2
+
1
16
e
4
+
5
128
e
6
+
7
256
e
8
+ . . .
. (3.43)
Бросается в глаза, что знаменатели коэффициентов — степени
двойки. Докажем это. При n > 2 выразим c
1n
через биномиаль-
ные коэффициенты:
c
1n
=
1
2
2n+1
n
2n
n − 1
=
1
2
2n+1
(n + 1)
2n
n
,
что можно представить в виде
2
2n+1
c
1n
=
A
n
=
B
n + 1
с натуральными A, B. Отсюда
B =
n + 1
n
A.
Так как n, n + 1 взаимно просты, то B может быть целым, только
если A делится на n, а тогда 2
2n+1
c
1n
— целое число, что и требо-
валось доказать. Более того, коэффициенты c
kn
при любом k суть
целые числа, деленные на степень двойки. В самом деле, из опре-
деления c
kn
следует
n
X
s=0
c
ks
e
2s
=
n
X
m=0
c
1m
e
2m
!
k
+ . . . ,
где невыписанные члены имеют порядок e
2n+2
и выше. Очевидно,
что c
kn
представляет собой конечную сумму произведений c
1m
и
потому обладает указанным свойством.
101
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
