Задача двух тел. Холшевников К.В - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

(1.47) являются тригонометрическими многочленами от E или θ,
или тригонометрическими многочленами, помноженными на (1 −
e cos E)
−1
или (1 + e cos θ)
−1
. Поэтому ряды Фурье по кратным E
или θ находятся сравнительно просто. Основной интерес представ-
ляет зависимость от средней аномали. Классиками, начиная с Эй-
лера, здесь получено множество результатов. Ключевую роль иг-
рают функции Бесселя, знакомству с которыми мы посвятим этот
параграф.
3.4.1. Определение и основные свойства
функций Бесселя
Функции Бесселя определим с помощью производящей функ-
ции:
Φ(x, y)
def
= Exp(x sin y) =
∞
X
n=−∞
J
n
(x) Exp ny. (3.58)
Мы ввели обозначение Exp y = exp iy, где i — мнимая единица.
Функция слева является целой функцией двух комплексных пере-
менных x, y, 2π-периодической по y и удовлетворяющей условию
Φ(−x, y + π) = Φ(x, y). (3.59)
Поэтому она разлагается в ряд Фурье по кратным y с зависящими
от x коэффициентами, сходящийся абсолютно и равномерно в обла-
сти |x| 6 x
0
, |=y| 6 y
0
при любых положительных x
0
, y
0
. По теореме
единственности равенство (3.58) однозначно определяет J
n
(x), на-
зываемые функциями Бесселя. Из сказанного ясно, что J
n
— целые
функции от x.
Согласно (3.58)
Exp(−x sin y) =
∞
X
n=−∞
J
n
(−x) Exp ny =
∞
X
n=−∞
J
n
(x) Exp(−ny),
поскольку слева знак «минус» мы можем отнести как к x, так и
к y. Заменяя в последнем ряде индекс n на −n, представим его в
форме
∞
X
n=−∞
J
−n
(x) Exp ny.
Сравнение коэффициентов дает J
−n
(x) = J
n
(−x).
105

Страницы