Задача двух тел. Холшевников К.В - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Подстановка (3.59) приводит к ряду
Exp(x sin y) =
∞
X
n=−∞
(−1)
n
J
n
(−x) Exp ny,
так что J
n
(−x) = (−1)
n
J
n
(x).
Итак,
J
n
(−x) = (−1)
n
J
n
(x), J
−n
(x) = J
n
(−x) = (−1)
n
J
n
(x),
J
−n
(−x) = J
n
(x),
(3.60)
что позволяет считать n > 0, а для непрерывного аргумента счи-
тать x > 0 в случае его вещественности.
Заменяя в левой части (3.58) sin y на (Exp y − Exp(−y))/2i, по-
лучаем
Φ(x, y) = exp
x
2
Exp y
exp
−
x
2
Exp(−y)
=
=
∞
X
m,k=0
1
m!
x
2
m
Exp my
1
k!
−
x
2
k
Exp(−ky).
Собирая члены, для которых m − k = n, находим
J
n
(x) =
X
06m,k<∞,m−k=n
(−1)
k
m!k!
x
2
m+k
,
что при n > 0 можно представить в виде
J
n
(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
k!(n + k)!
x
2
n+2k
. (3.61)
При отрицательных n нижний предел суммирования следует заме-
нить на |n|. Впрочем, формулу (3.61) считают справедливой и при
n < 0, полагая в согласии со свойствами гамма-функции Эйлера
1/s! = 0 при целых отрицательных s.
Радиус сходимости ряда (3.61) равен бесконечности, что, впро-
чем, было отмечено на с. 105. Функция Бесселя оказалась веще-
ственной при вещественных x.
Почленным дифференцированием найдем
J
0
n
(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(n + 2k)
2k!(n + k)!
x
2
n+2k−1
. (3.62)
106

Страницы