Составители:
Таблица 3.1. Зависимость целой части n
0
и n
1
от e при q = q
0
= 1
e 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
bn
0
c 40 000 400 100 45 25 16 12 9 7 5 4
bn
1
c 39 999 399 99 43 24 15 12 9 7 5 4
Поэтому при e 6 1 остаток ряда (3.63) имеет лейбницевский тип,
по крайней мере начиная с k = dn/4e − 1 при n > 4, а остаток
ряда (3.64) — начиная с k = dn/4e − 1 при n > 8. В частности,
в этих условиях при обрыве рядов на члене с индексом k погреш-
ность будет меньше первого отброшенного члена и иметь его знак.
Разумеется, ситуация улучшается с уменьшением e. В частности,
сами ряды имеют лейбницевский тип при n 6 n
0
(1, e) и n 6 n
1
(1, e)
соответственно.
Как коэффициент ряда Фурье (3.58) функция Бесселя равна
интегралу
J
n
(x) =
1
2π
Z
π
−π
Exp(x sin y − ny) dy. (3.66)
Представим экспоненту как cos z −i sin z при z = ny −x sin y. Функ-
ция sin z нечетна по y и пропадает при интегрировании. Функция
cos z четна, что позволяет вдвое уменьшить промежуток интегри-
рования:
J
n
(x) =
1
2π
Z
π
−π
cos(ny − x sin y) dy =
1
π
Z
π
0
cos(ny −x sin y) dy.
(3.67)
Нетрудно получить рекуррентные соотношения для функций Бес-
селя и их производных (см. задачи 3.13, 3.14):
2nJ
n
(x) = x [J
n−1
(x) + J
n+1
(x)] , (3.68)
2J
0
n
(x) = J
n−1
(x) −J
n+1
(x). (3.69)
Последовательное дифференцирование (3.69) позволяет выразить
производную любого порядка через сами функции. Например,
4J
00
n
(x) = J
n−2
(x) −2J
n
(x) + J
n+2
(x). (3.70)
Комбинируя последние три формулы, получаем линейное однород-
ное дифферециальное уравнение второго порядка
x
2
J
00
n
+ xJ
0
n
− (n
2
− x
2
)J
n
= 0. (3.71)
108
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
