Задача двух тел. Холшевников К.В - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.4.2. Многочлены Ломмеля
Функция J
n+1
выражается через J
n
, J
n−1
согласно (3.68), по-
добное выражение для J
n−1
тривиально:
J
n+1
=
2n
x
J
n
− J
n−1
, J
n−1
= J
n−1
. (3.77)
Этот результат можно обобщить:
J
n+m
(x) = R
mn
(x)J
n
(x) − R
m−1,n+1
(x)J
n−1
(x), (3.78)
где многочлены Ломмеля R
mn
определены при всех целых m, n.
Обратим внимание, что многочленами они являются относительно
x
−1
. Сравнение соотношений (3.77) и (3.78) показывает, что
R
1n
=
2n
x
, R
0n
= 1, R
−1,n
= 0, R
−2,n
= −1. (3.79)
Отсюда можно идти в обе стороны по m с помощью рекуррентности
(Ватсон, 1949)
R
m−1,n
+ R
m+1,n
=
2(n + m)
x
R
mn
. (3.80)
При m > 0, n > 0 Ломмелем получено и явное выражение (Ватсон,
1949)
R
mn
(x) =
bm/2c
X
k=0
(−1)
k
(m − k)!(m + n − k − 1)!
k!(m − 2k)!(n + k − 1)!
2
x
m−2k
. (3.81)
Случай m 6 −2 сводится к случаю положительного первого индек-
са с помощью соотношений
R
mn
= (−1)
m
R
m,−n−m+1
= (−1)
m−1
R
−m−2,2−n
= −R
−m−2,n+m+1
.
(3.82)
Дополним формулы (3.79) до m = ±4:
R
4n
=
16(n + 3)(n + 2)(n + 1)n
x
4
−
12(n + 2)(n + 1)
x
2
+ 1,
R
3n
=
8(n + 2)(n + 1)n
x
3
−
4(n + 1)
x
, R
2n
=
4(n + 1)n
x
2
− 1,
110

Страницы