Задача двух тел. Холшевников К.В - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

возведем в степень (−n) и для каждого из двух множителей вос-
пользуемся биномиальным рядом
Φ
−n
=
∞
X
k,s=0
n
¯
k
n
¯s
k!s!
z
s+k
Exp(s − k)y. (3.90)
Мы используем удобный символ возрастающей степени (Грэхем,
Кнут, Паташник, 1998): при целом неотрицательном k
x
¯
k
=
x(x + 1) ···(x + k − 1), если k > 1,
1, если k = 0.
В частности, 1
¯
k
= k!.
Полагая s − k = m и перегруппировывая слагаемые, приходим
к представлению (3.87), где при m > 0
P
nm
(z) =
∞
X
k=0
P
k
nm
z
2k
, P
k
nm
=
n
¯
k
n
k+m
k!(k + m)!
. (3.91)
При n = 1 коэффициент P
k
1m
тождественно равен единице, и для
P
1m
получаем геометрическую прогрессию
P
1m
(z) =
1
1 − z
2
. (3.92)
Нетрудно догадаться, что в общем случае мы встретим гипергео-
метрический ряд. В самом деле, представим P
k
nm
в виде
P
k
nm
=
n
¯m
m!
˜
P
k
nm
, где
˜
P
k
nm
=
n
¯
k
(n + m)
¯
k
k!(m + 1)
¯
k
есть обший член гипергеометрического ряда. В результате
P
nm
(z) =
n
¯m
m!
F (n, n + m, m + 1, z
2
). (3.93)
Пусть n — целое отрицательное. По свойству гипергеометриче-
ской функции с неположительным вторым аргументом функция
Пуассона P
nm
при m 6 |n| является многочленом от z
2
степени
|n| − m. При m > |n| возрастающая степень n
¯m
= 0, а вместе с ней
и P
nm
(z) = 0. Например,
P
−1,m
(z) = (−1)
m
1 +
1 − m
1 + m
z
2
, 0 6 m 6 1,
112

Страницы