Задача двух тел. Холшевников К.В - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

P
−2,m
(z) =
(−2)
¯m
m!
1 +
2(2 − m)
m + 1
z
2
+
(2 − m)(1 − m)
(2 + m)(1 + m)
z
4
, (3.94)
0 6 m 6 2.
Существует множество формул преобразования гипергеометри-
ческих функций. Например, тождество Эйлера (Грэхем, Кнут, Па-
ташник, 1998)
F (a, b, c, x) = (1 − x)
c−a−b
F (c − a, c −b, c, x)
позволяет представить (3.93) в форме
P
nm
(z) =
n
¯m
m!
(1 − z
2
)
1−2n
F (m + 1 − n, 1 − n, m + 1, z
2
). (3.95)
Пусть n — целое положительное. По свойству гипергеометриче-
ской функции с неположительным первым или вторым аргументом
функция F при m 6 n − 1 является многочленом от z
2
степени
n−m−1, а при m > n — степени n−1. При n = 1 явное выражение
P
1m
дается формулой (3.92). Приведем еще два примера:
P
2m
(z) =
m + 1
(1 − z
2
)
3
1 +
1 − m
1 + m
z
2
,
P
3m
(z)=
(m+1)(m+2)
2(1 − z
2
)
5
1+
2(2−m)
1 + m
z
2
+
(2 − m)(1 − m)
(2 + m)(1 + m)
z
4
. (3.96)
Бросается в глаза совпадение многочленов в (3.94) и (3.96). Это не
случайно: гипергеометрическая функция (3.93) совпадает с (3.95),
если в последней n заменить на 1 − n. Точнее,
n
¯m
P
1−n,m
(z) = (1 −n)
¯m
(1 − z
2
)
2n−1
P
nm
(z). (3.97)
При полуцелом n функции Пуассона (называемые в этом слу-
чае коэффициентами Лапласа) уже неэлементарны. Например, при
n = 1/2, m = 0 согласно (3.93) аргументами функции F служат 1/2,
1/2, 1, z
2
, что приводит к полному эллиптическому интегралу пер-
вого рода (Градштейн, Рыжик, 1971)
P
1/2,0
(z) =
2
π
K(z). (3.98)
113

Страницы