Задача двух тел. Холшевников К.В - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.6. Ряды Фурье в эллиптическом движении
3.6.1. Решение уравнения Кеплера
Мы выяснили в §1.4, что решение уравнения Кеплера (3.20) есть
сумма средней аномалии и нечетной 2π-периодической функции от
средней аномалии. Поэтому
E −M =
∞
X
n=1
c
n
(e) sin nM (3.99)
при
c
n
(e) =
2
π
Z
π
0
e sin E sin nM dM.
Под знаком интеграла стоит неэлементарная функция sin E от
M. Чтобы избавиться от этого неудобства, перейдем к интегри-
рованию по эксцентрической аномалии: M = E − e sin E, dM =
(1 − e cos E) dE, так что
c
n
(e) =
2e
π
Z
π
0
sin E(1 − e cos E) sin(nE −x sin E) dE. (3.100)
Через x в этом параграфе всегда обозначается произведение x = ne.
Произведение тригонометрических функций представим суммой
косинусов линейной комбинации аргументов
c
n
(e) =
e
2π
Z
π
0
{2 cos[(n − 1)E −x sin E] − 2 cos[(n + 1)E −x sin E]−
−e cos[(n − 2)E − x sin E] + e cos[(n + 2)E − x sin E]} dE.
Согласно равенству (3.66)
2c
n
= 2e(J
n−1
− J
n+1
) − e
2
(J
n−2
− J
n+2
).
Аргументом функций Бесселя служит x = ne, если не оговорено
противное. Применяя формулы (3.86), находим
c
n
(e) =
2
n
J
n
(x). (3.101)
Возвращаясь к равенству (3.99), получаем
E −M =
∞
X
n=1
2
n
J
n
(x) sin nM. (3.102)
114

Страницы