Задача двух тел. Холшевников К.В - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Запишем равенство Парсеваля для ряда (3.58), рассматривая x
как вещественный параметр:
∞
X
n=−∞
J
2
n
(x) =
1
2π
Z
2π
0
|Exp(x sin y)|
2
dy = 1,
поскольку модуль экспоненты чисто мнимой переменной равен еди-
нице. Группируя слева слагаемые, различающиеся знаком индекса,
представляем равенство Парсеваля в форме
J
2
0
(x) + 2
∞
X
n=1
J
2
n
(x) = 1, x ∈ R. (3.72)
Отсюда получаем для всех вещественных x
|J
0
(x)| 6 1, |J
n
(x)| 6 1/
√
2 при n > 1. (3.73)
Дадим без вывода еще несколько полезных неравенств (Ватсон,
1949):
|J
n
(x)| 6
1
n!
x
2
n
, |J
0
n
(x)| 6
1
2(n − 1)!
1 +
x
2
2n(n + 1)
x
2
n−1
,
(3.74)
0 6 J
n
(ne) 6 γ
n
, J
n
(ne) 6
γ
n
√
2πnη
, 0 6 J
0
n
(ne) 6
4
√
1 + e
2
e
√
2πn
γ
n
,
(3.75)
C
1
n
1/3
< J
n
(n) <
C
2
n
1/3
,
C
3
n
2/3
< J
0
n
(n) <
C
4
n
2/3
(3.76)
при C
1
= 0.44, C
2
= 0.447307, C
3
= 0.325, C
4
= 0.410850. Форму-
лы (3.74) верны при всех вещественных x; n > 0 в первой из них,
n > 1 — во второй. Первая из формул (3.75) верна при n > 0,
0 6 e 6 1; вторая — при n > 1, 0 6 e < 1; третья — при n > 1,
0 6 e 6 1 с учетом γ/e → e/2 при e → 0. Формулы (3.76) справед-
ливы при n > 1.
Многочисленные представления функций Бесселя рядами, инте-
гралами, цепными дробями обстоятельно разобраны в книге (Ват-
сон, 1949). Там же приведены оценки, корни, ряды по функциям
Бесселя, свойства ортогональности и многое другое. Ниже мы при-
ведем еще лишь самое необходимое для дальнейшего.
109

Страницы