Методы расчета устойчивости энергосистем. Хрущев Ю.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ...
=
=
=
),z,y,x,t(fz
;zy
;yx
&
&
&
(1.9)
которая является случаем нормальной системы (1.3).
Для уравнения nго порядка число вспомогательных функ
ций будет равно n#1. В обычно встречающихся случаях верно и
обратное утверждение: нормальная система уравнений может
быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок
которого равен числу уравнений системы [3].
Рассмотрим, например, систему уравнений
;
;
.
xy
yz
z
xyz
=
=
=−+
&
&
&
(1.10)
Продифференцируем первое уравнение по переменной t и
заменим производную
y
&
ее выражением из второго уравнения:
zyx ==
&&&
. Продифференцируем еще раз это уравнение и заме
ним производную
z
&
ее выражением из третьего уравнения:
zyxzx +−==
&
&&&
. Так как xy
&
= , а
xz
&&
=
, то
xxxx
&&&&&&
+−=
. Окон
чательно получим
0=−+− xxxx
&&&&&&
, (1.11)
то есть линейное дифференциальное уравнение третьего по
рядка с постоянными коэффициентами.
1.3. Решения систем дифференциальных уравнений
Отметим, что в процессе исключения функций y и
z в (1.10)
мы выразили их через функцию х и ее производные. Найдя об
щее решение полученного дифференциального уравнения
(1.11) третьего порядка, получим выражение для функции х,
зависящее от трех произвольных постоянных. Неизвестные
функции y и
z находятся уже не при помощи интегрирования,
а из их выражений через найденную функцию. Таким образом,
общее количество произвольных постоянных не изменяется и
составляет величину, равную порядку системы.
.

Страницы