Классическая механика и специальная теория относительности. Хуснутдинов Р.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m
~
F =
~
F
0
sin(ωt) t = 0 ~r = 0
~
ϑ = 0 ~r
d
~
ϑ
dt
=
~
F
0
m
sin(ωt).
d
~
ϑ
dt 0 t
~
ϑ(t) −
~
ϑ(0) =
~
F
0
m
Z
t
0
sin(ωt)dt.
ϑ(0) = 0
~
ϑ(t) =
~
F
0
mω
1 − cos(ωt)
.
d~r
~r dt
d~r =
~
ϑ(t)dt.
0 t
~r(t) −~r(0) =
~
F
0
mω
Z
t
0
1 − cos(ωt)
dt.
~r(0) = 0
~r(t) =
~
F
0
mω
2
ωt − sin(ωt)
.
~r(t) =
~
F
0
mω
2
ωt − sin(ωt)
                                                         ~ =
  Ïðèìåð 3. ×àñòèöà ìàññîé m äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F
~0 sin(ωt). Â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èçâåñòíû åå ðàäèóñ-âåêòîð ~r = 0
F
è ñêîðîñòü ϑ~ = 0. Íàéòè ïîëîæåíèå ÷àñòèöû, ò.å. ðàäèóñ-âåêòîð ~r â
çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè.

  åøåíèå: Ñîãëàñíî îñíîâíîìó óðàâíåíèþ äèíàìèêè, óñêîðåíèå
ðàâíÿåòñÿ
                                ~
                               dϑ   ~0
                                    F
                                  =    sin(ωt).
                               dt   m
Îòñþäà íàõîäèì ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè                 dϑ~   çà
âðåìÿ   dt   è çàòåì ïðèðàùåíèå ýòîãî âåêòîðà çà âðåìÿ îò     0   äî   t:
                                 ~0 Z t
                                 F
                      ~ − ϑ(0)
                      ϑ(t) ~   =        sin(ωt)dt.
                                 m 0
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî      ϑ(0) = 0,   ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì

                             ~0 
                             F
                                             
                        ~ =
                        ϑ(t)      1 − cos(ωt) .
                             mω
Òåïåðü íàéäåì d~r  ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå, èëè ïðèðàùåíèå ðàäèóñ-
âåêòîðà ~
        r ÷àñòèöû çà âðåìÿ dt:
                                       ~
                                 d~r = ϑ(t)dt.

Ïðèðàùåíèå æå ðàäèóñ-âåêòîðà çà âðåìÿ îò          0    t
                                                      äî

                                  ~0 Z t 
                                  F
                                                      
                  ~r(t) − ~r(0) =          1 − cos(ωt) dt.
                                  mω 0
 ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ           ~r(0) = 0,
íàõîäèì
                                 F~0              
                        ~r(t) =        ωt − sin(ωt) .
                                mω 2
                         F~0              
  Îòâåò:        ~r(t) =        ωt − sin(ωt) .
                        mω 2




                                      13

Страницы